Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點，且點C為弧BF的中點，過點C作AF的垂線，交AF的延長線于點E，交AB的延長線于點D．

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若AE=3，DE=4，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)⊙O的半徑長為.

【解析】

（1）連接OC，證OC∥AE，即可得出OC⊥DE，根據切線判定推出即可．

（2）證△OCD∽△ADE，即可求出DF．

(1)連接，

∵點C為弧BF的中點，

∴弧BC=弧CF．∴．

∵，

∴．

∴．

∵AE⊥DE，

∴．

∴．

∴OC⊥DE．

∴DE是⊙O的切線．

(2)由勾股定理得AD=5,

∵ ，

∠D=∠D，

∴△OCD∽△AED，

∴，

即，

解得r=，

∴⊙O的半徑長為.