Question

已知拋物線y=-ax²+2ax+b與x軸的一個交點為A（-1，0），與y軸正半軸交于點C．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）當∠ACB=90°時，求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點M，使得△ABM和△ABC的面積相等（△ABM與△ABC重合除外）？若存在，請直接寫出點M坐標；若不存在，請說明理由．
（4）在第一象限內，拋物線上是否存在點N，使得△BCN的面積最大？若存在，求出這個最大值和點N坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據對稱軸公式，對稱軸x=-

2a

2(-a)

=1；
（2）當點C在以AB為直徑的⊙P上時，△ABC為直角三角形，已知OA=1，OB=3，由△AOC∽△COB，利用相似比可求OC，即C點坐標，設拋物線解析式的交點式，將C點坐標代入即可；
（3）根據拋物線的對稱性，可知在對稱軸右側也存在這樣的一個點；再根據三角形的等面積法，在x軸下側，存在兩個點，這兩個點分別到x軸的距離等于點C到x軸的距離；
（4）設出點N的坐標為（m，n），過點N作ND⊥AB于點D，結合題意，用含m或n的式子表示出三角形面積，根據二次函數最值的性質即可得出面積的最大值．和此時N的值；

解答：解：（1）對稱軸是：直線x=1；
點B的坐標是（3，0）．（2分）

（2）由∠ACB=∠AOC=∠COB=90°得△AOC∽△COB，
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
∴CO=

3

，
∴b=

3

當x=-1，y=0時，-a-2a+

3

=0，
∴a=

3

3

，（4分）
∴y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

；

（3）點M的坐標是：（2，

3

），（1+

7

，-

3

）或（1-

7

，-

3

）；（8分）

（4）設點N的坐標為（m，n），則n=-

3

3

m2+

2 3

3

m+

3

，
過點N作ND⊥AB于點D，則有：

S△BCN=S梯形ODNC+S△BDN-S△OBC = 1 2 ( 3 +n)m+ 1 2 (3-m)n- 3 3 2 = 3 2 m+ 3 2 n- 3 3 2 =- 3 2 m2+ 3 3 2 m

=-

3

2

(m-

3

2

)2+

9 3

8

（10分）
∵-

3

2

＜0，
∴當m=

3

2

時，△BCN的面積最大，
最大值是

9 3

8

，點N的坐標為(

3

2

，

5 3

4

)（12分）

點評：本題考查了拋物線對稱軸公式，拋物線對稱性的運用，待定系數法求拋物線解析式的方法．綜合運用了圓的對稱性，直角三角形中的相似三角形的問題．