Question

已知拋物線y=ax+bx+c與y軸交于A(0,3)，與x軸分別交于B(1,0)、C(5, 0)兩點(diǎn)．      

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F)，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

解：(1) 根據(jù)題意，c = 3，

所以    

所以，拋物線解析式為y =

(2)如圖，由題意，可得M(0，)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M’(0，一)點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=3的對(duì)稱點(diǎn)為A’(6，3)，連結(jié)A’ M’, 根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，A’M’的長(zhǎng)就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長(zhǎng)

所以A’M’與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)

可求得直線A’M的解析式為y=

可得E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(3，)

由勾股定理可求出A’M’=

所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑(ME+EF+FA)的長(zhǎng)為