Question

已知：一次函數y=

1

2

x+3的圖象與正比例函數y=kx的圖象相交于點A（a，1）．
（1）求a的值及正比例函數y=kx的解析式；
（2）點P在坐標軸上（不與點O重合），若PA=OA，直接寫出P點的坐標；
（3）直線x=m與一次函數的圖象交于點B，與正比例函數圖象交于點C，若△ABC的面積記為S，求S關于m的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）將A（a，1）代入一次函數y=

1

2

x+3求出a的值，再將A點坐標代入正比例函數解析式求出k的值，從而得到正比例函數解析式；
（2）分兩種情況：P在x軸上和P在y軸上，令PA=OA即可解答．
（3）依題意，得點B的坐標為（m，

1

2

m+3），點C的坐標為（m，-

1

4

m），作AH⊥BC于點H，H的坐標為（m，1）．然后分兩種情況討論：（ⅰ）當m＜-4時，（ⅱ）當m＞-4時．兩種情況下，分別求出BC、AH的表達式，代入計算即可．

解答：解：（1）∵一次函數y=

1

2

x+3的圖象與正比例函數y=kx的圖象相交于點
A（a，1），
∴

1

2

a+3=1．
解得a=-4．（1分）
∴A（-4，1）．
∴-4k=1．
解得k=-

1

4

．
∴正比例函數的解析式為y=-

1

4

x；

（2）如圖1，P₁（-8，0）或P₂（0，2）；

（3）依題意，得點B的坐標為（m，

1

2

m+3），點C的坐標為（m，-

1

4

m）．
作AH⊥BC于點H，H的坐標為（m，1）．
以下分兩種情況：
（ⅰ）當m＜-4時，
BC=-

1

4

m-（

1

2

m+3）
=-

3

4

m-3．
AH=-4-m．
則S_△ABC=

1

2

BC•AH
=

1

2

（-

3

4

m-3）（-4-m）
=

3

8

m²+3m+6；
（ⅱ）當m＞-4時，
BC=（

1

2

m+3）+

1

4

m=

3

4

m+3．
AH=m+4．
則S_△ABC=

1

2

BC•AH
=

1

2

（

3

4

m+3）（4+m）
=

3

8

m²+3m+6；
綜上所述，S_△ABC=

3

8

m²+3m+6（m≠-4）．

點評：本題考查了一次函數綜合題，涉及函數圖象與坐標軸的交點、三角形的面積與坐標之間的關系、同時考查了分類討論與數形結合的數學思想．