Question

14．如圖，一塊直角三角板ABC，∠B=90°，AB=3，BC=4，截得兩個正方形，DEFG、BDEF，設S₁=DEFG的面積，S₂=BDEF的面積，則S₁、S₂的大小關系是（　　）

• A． S₁＞S₂
• B． S₁＜S₂
• C． S₁=S₂
• D． 無法確定

Answer 1

分析 根據勾股定理求出AC，求出AC邊上的高BM，根據相似三角形的性質得出方程，求出方程的解，即可求得S₁=DEFG的面積，如圖2，根據相似三角形的性質列方程求得DE=$\frac{12}{7}$，于是得到S₂=（$\frac{12}{7}$）²＞（$\frac{60}{37}$）²，即可得到結論．

解答 解：如圖1，設正方形DEFG的邊長是x，
∵△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴由勾股定理得：AC=5，
過B作BM⊥AC于M，交DE于N，
由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}$BC×AB=$\frac{1}{2}$AC×BM，
∵AB=3，AC=5，BC=4，
∴BM=2.4，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=x，DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BN}{BM}$，
∴$\frac{x}{5}$=$\frac{2.4-x}{2.4}$，
x=$\frac{60}{37}$，
即正方形DEFG的邊長是$\frac{60}{37}$；
∴S₁=（$\frac{60}{37}$）²，
如圖2，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DE}{4}=\frac{3-DE}{3}$，
∴DE=$\frac{12}{7}$，
∴S₂=（$\frac{12}{7}$）²＞（$\frac{60}{37}$）²，
∴S₁＜S₂，
故選B．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，三角形面積公式，正方形的性質的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．