Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D．點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為每秒1cm；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為每秒2cm，設它們運動的時間為x秒．
（1）求當x為何值時，PQ⊥AC，當x為何值時，PQ⊥AB．
（2）設△PQD的面積為y（cm²），當0＜x＜2時，求y與x的函數關系式．
（3）當0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；
（2）根據CQ=2x，∠C=60°，得出QE=CQ•sin60°=x，進而求出面積即可；
（3）根據三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．再根據平行線等分線段定理即可證明；
解答：（1）解：當Q在AC上時，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=；
當Q在AB上時，由題意得，BP=x，AQ=2x-4，則BQ=4-（2x-4）=8-2x，
∵AB=BC=CA=4，∴∠B=60°；
若PQ⊥AB，則有∠QPB=30°，∴PB=2BQ，∴x=2（8-2）x，
解得：x=（滿足條件2≤x≤4），
即當x=時，PQ⊥AB；

（2）解：作QE⊥DC于E，
∵當0＜x＜2時，
CQ=2x，∠C=60°，
∴QE=CQ•sin60°=x，
PD=2-x，
∴△PQD的面積為：y=×PD×EQ=（2-x）•x=-x²+x；

（3）證明：當0＜x＜2時，點P在BD上，在△QPC中，QC=2x，∠C=60°；
∵QE⊥DC，
∴EC=QC=x，
∴BP=EC，
∵BD=CD．
∴DP=DE；
∵AD⊥BC，QE⊥BC，
∴∠ADC=∠QEC，
∴AD∥QE，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面積；
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及三角形的面積求法，綜合運用了等邊三角形的性質、直角三角形的性質以及直線和圓的位置關系求解．解題的關鍵是用動點的時間x和速度表示線段的長度，本題有一定的綜合性，難度中等．