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已知關(guān)于x的方程x2+2(k-3)x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2
(1)求k的取值范圍;
(2)若|x1+x2-9|=x1x2,求k的值.
【答案】分析:(1)根據(jù)一元二次方程的根的判別式△=b2-4ac>0來求k的取值范圍;
(2)利用韋達(dá)定理求的關(guān)于k的一元二次方程|2k+3|=k2;然后根據(jù)(1)的k的取值范圍,需要對(duì)其分類討論:①當(dāng)2k+3≥0,即k≥-時(shí),2k+3=k2,通過解方程求的k的值即可;②當(dāng)2k+3<0,即k<-時(shí),-2k-3=k2,通過解方程求的k的值即可.
解答:解:(1)根據(jù)題意,得△≥0,
即[2(k-3)]2-4k2≥0,
解得,k≤

(2)根據(jù)韋達(dá)定理,得
x1+x2=-2(k-3),x1x2=k2
∴由|x1+x2-9|=x1x2,得
|-2(k-3)-9|=k2,即|2k+3|=k2
以下分兩種情況討論:
①當(dāng)2k+3≥0,即k≥-時(shí),2k+3=k2
即k2-2k-3=0,
解得,k1=-1,k2=3;
又由(1)知,k≤
∴-≤k≤
∴k2=3不合題意,舍去,
即k1=-1;
②當(dāng)2k+3<0,即k<-時(shí),-2k-3=k2
即k2+2k+3=0,此方程無實(shí)數(shù)解.
綜合①②可知,k=-1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:
(1)△>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
(3)△<0?方程沒有實(shí)數(shù)根.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知關(guān)于x的方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0
(1)求證:無論k取何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)若等腰△ABC的一邊長為a=6,另兩邊長b,c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求此三角形的周長.

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