Question

如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長為x米．
（1）請求出底邊BC的長（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）若∠BAD=60°，該花圃的面積為S米²．
①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（要指出自變量x的取值范圍），并求當(dāng)S=93

3

時(shí)x的值；
②如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個(gè)值是多少？

Answer 1

分析：（1）已知AB=CD=x，則易求BC的值．
（2）①第二小題需要輔助線的幫助，作BE、CF分別垂直AD，易求出各邊以及梯形高的值．利用梯形面積公式可求出S與x的關(guān)系．②求出該函數(shù)的對稱軸后畫圖可知x=16時(shí)，函數(shù)有最大值．

解答：解：（1）∵AB=CD=x米，
∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米．（3分）

（2）①如圖，
過點(diǎn)B、C分別作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°
∴AE=

1

2

x，BE=

3

2

x，
同理DF=

1

2

x，CF=

3

2

x
又EF=BC=40-2x
∴AD=AE+EF+DF=

1

2

x+40-2x+

1

2

x=40-x（4分）
∴S=

1

2

（40-2x+40-x）•

3

2

x=

3

4

x（80-3x）（0＜x＜20）（6分）
當(dāng)S=93

3

時(shí)，-

3

4

3

x2+20

3

x=93

3

，
解得：x₁=6，x₂=20

2

3

（舍去）．
∴x=6（8分）
②由題意，得40-2x+

1

2

x×2≤24，解得x≥16，
結(jié)合①得16≤x＜20（9分）
由①，S=-

3

4

3

x2+20

3

x=-

3

4

3

(x-

40

3

)2+

400

3

3

∵a=-

3 3

4

＜0
∴函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一段（附函數(shù)圖象草圖如左）．
其對稱軸為x=

40

3

，
∵16＞

40

3

，由左圖可知，
當(dāng)16≤x＜20時(shí)，S隨x的增大而減小（11分）
∴當(dāng)x=16時(shí)，S取得最大值，（12分）
此時(shí)S最大值=-

3

4

3

×162+20

3

×16=128

3

m²．（13分）

點(diǎn)評：求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，運(yùn)算較復(fù)雜，難度偏難．