Question

（2009•泉州）如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設該花圃的腰AB的長為x米．
（1）請求出底邊BC的長（用含x的代數式表示）；
（2）若∠BAD=60°，該花圃的面積為S米²．
①求S與x之間的函數關系式（要指出自變量x的取值范圍），并求當S=93時x的值；
②如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知AB=CD=x，則易求BC的值．
（2）①第二小題需要輔助線的幫助，作BE、CF分別垂直AD，易求出各邊以及梯形高的值．利用梯形面積公式可求出S與x的關系．②求出該函數的對稱軸后畫圖可知x=16時，函數有最大值．
解答：解：（1）∵AB=CD=x米，
∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米．（3分）

（2）①如圖，
過點B、C分別作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°
∴AE=x，BE=x，
同理DF=x，CF=x
又EF=BC=40-2x
∴AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x（4分）
∴S=（40-2x+40-x）•x=x（80-3x）（0＜x＜20）（6分）
當S=時，x=，
解得：x₁=6，x₂=（舍去）．
∴x=6（8分）
②由題意，得40-x≤24，解得x≥16，
結合①得16≤x＜20（9分）
由①，S=x=
∵a=＜0
∴函數圖象為開口向下的拋物線的一段（附函數圖象草圖如左）．
其對稱軸為x=，
∵16＞，由左圖可知，
當16≤x＜20時，S隨x的增大而減小（11分）
∴當x=16時，S取得最大值，（12分）
此時S最大值=m²．（13分）
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．本題主要考查二次函數的運用，運算較復雜，難度偏難．