Question

如圖：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上（與A、C不重合），Q在BC上．
（1）當△PQC的面積是四邊形以PABQ的面積

1

3

時，求CP的長．
（2）當△PQC的周長與四邊形以PABQ的周長相等時，求CP的長．

Answer 1

分析：（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，當△PQC的面積是四邊形以PABQ的面積

1

3

時，△CPQ與△CAB的面積比為1：4，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出CP的長；
（2）由于△PQC∽△ABC，根據相似三角形的性質，可用CP表示出PQ和CQ的長，進而可表示出AP、BQ的長．根據△CPQ和四邊形ABQP的周長相等，可將相關的各邊相加，即可求出CP的長．

解答：解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∵S_△PQC=

1

3

S_{四邊形PABQ}，
∴S_△PQC：S_△ABC=1：4，
∴

CP

CA

=

1 4

=

1

2

，
∴CP=

1

2

CA=2；

（2）∵△PQC∽△ABC，
∴

CP

CA

=

CQ

CB

=

PQ

AB

，
∴

CP

4

=

CQ

3

，
∴CQ=

3

4

CP，
同理：PQ=

5

4

CP，
∴l_△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+

5

4

CP+

3

4

CP=3CP，
l_{四邊形PABQ}=PA+AB+BQ+PQ
=4-CP+AB+3-CQ+PQ
=4-CP+5+3-

3

4

CP+

5

4

CP
=12-

1

2

CP，
∴12-

1

2

CP=3CP，
∴

7

2

CP=12，
∴CP=

24

7

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質．根據相似三角形得出線段的比例關系是解題的關鍵．