Question

（2012•沙灣區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

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x2+bx+c經過A（0，-4）、B（x₁，0）、C（x₂，0），且x₂-x₁=5．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點D，使得△DBO是以OB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點D的坐標，并判斷這個等腰三角形是否為等腰直角三角形？若不存在，請說明理由；
（3）連接AB，P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E，設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把A（0，-4）代入可求c，運用兩根關系及x₂-x₁=5，對式子合理變形，求b；
（2）作BC的中垂線，則與拋物線的交點即是要找的位置，然后驗證△DBO是否為等腰三角形．
（3）根據A、B的坐標可得出直線AB的解析式，然后可得出點E及點H的縱坐標，繼而可表示出h的長度．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

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x2+bx+c經過A（0，-4），
∴c=-4，
又∵x₁、x₂是方程-

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x²+bx+c=0的兩個根，
∴x₁+x₂=

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2

b，x₁x₂=-

3

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c，
由已知得：（x₂-x₁）²=25，
又（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=

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4

b²-24=25，
解得：b=±

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3

，
當b=

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時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-

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，
故拋物線的解析式為：y=-

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x2-

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x-4．
（2）由拋物線解析式可得：點B坐標為：（-6，0），則D是直線x=-3與拋物線的交點，即可得點D坐標為：（-3，4），
此時BO上的高等于4，而BO=6，即BO上的高不等于斜邊BO的一半，
故△OBD不是等腰直角三角形．
（3）由拋物線解析式可得點A（-1，0），點B（-6，0），
故可得直線AB的解析式為：y=-

2

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x-4，
則可得：點E的縱坐標為：-

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x-4，點H的縱坐標為：-

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x²-

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x-4，
則h=(-

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x2-

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x-4)-(-

2

3

x-4)=-

2

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x2-4x（-6＜x＜0）．

點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、根與系數的關系及等腰直角三角形的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握一些基本知識，達到融會貫通的程度．