Question

21、如圖所示，P是等邊△ABC內的一點，且PA：PB：PC=3：4：5，則∠APB=

150

°．

Answer 1

分析：把△APB繞A點順時針旋轉60°得到△ADC，得到AP=AD，∠PAD=60°，得到△PAD為等邊三角形，所以PD=PA，∠PDA=60°，設PA=3，PB=4，PC=5，則有PD=3，DC=PB=4，PC=5，根據勾股定理的逆定理得到∠PDC=90°，所以∠ADC=∠PDA+∠PDC=60°+90°=150°，得到∠APB=∠ADC=150°．

解答：解：把△APB繞A點順時針旋轉60°得到△ADC，如圖，
∴AP=AD，∠PAD=60°，
∴△PAD為等邊三角形，
∴PD=PA，∠PDA=60°，
又∵PA：PB：PC=3：4：5，
設PA=3，PB=4，PC=5，
∴PD=3，DC=PB=4，PC=5，
∴△PDC為直角三角形，且∠PDC=90°，
∴∠ADC=∠PDA+∠PDC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠ADC=150°．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了勾股定理的逆定理．