Question

（2013•南充模擬）已知關于x的方程（x-3）（x-2）-p²=0．
（1）求證：這個方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若二實根x₁，x₂滿足(x1-x2)2=9，求p的值．

Answer 1

分析：（1）先把方程整理為一般式，再計算出△=1+4p²，根據非負數的性質得到△＞0，然后根據判別式的意義得這個方程總有兩個不相等的實數根；
（2）根據根與系數的關系得到得x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，由已知條件變形得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，即25-4（6-p²）=9，然后解p的方程即可．

解答：（1）證明：方程整理為x²-5x+6-p²=0，
△=（-5）²-4×1×（6-p²）
=1+4p²，
∵4p²≥0，
∴△＞0，
∴這個方程總有兩個不相等的實數根；
（2）根據題意得x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，
∵(x1-x2)2=9，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，即25-4（6-p²）=9，
∴p=±2

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的根與系數的關系．