Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交AC于點E，交BC于點D，且AD=AB，連接BE交AD于點F，下列結論：（　　）

①∠EBC=∠C；②△EAF∽△EBA；③BF=3EF；④∠DEF=∠DAE，其中結論正確的個數有

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】分析: 要解答本題，首先由中垂線的性質可以求得BE＝CE，利用外角與內角的關系可以得出∠CAD＝∠ABE，通過作輔助線利用等腰三角形的性質和三角形全等可以得出EF＝FH＝HB，根據等高的兩三角形的面積關系求出AF＝DF，利用角的關系代替證明∠5≠∠4，從而得出△DEF與△DAE不相似．根據以上的分析可以得出正確的選項答案．

詳解: ∵BC的垂直平分線交AC于點E，交BC于點D，

∴CE＝BE，

∴∠EBC＝∠C，故①正確；

∵AD＝AB，

∴∠8＝∠ABC＝∠6＋∠7，

∵∠8＝∠C＋∠4，

∴∠C＋∠4＝∠6＋∠7，

∴∠4＝∠6，

∵∠AEF＝∠AEB，

∴△EAF∽△EBA，故②正確；

作AG⊥BD于點G，交BE于點H，

∵AD＝AB，DE⊥BC，

∴∠2＝∠3，DG＝BG＝BD，DE∥AG，

∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，DE＝AH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，

∴在△DEF與△AHF中，

∠EDA＝∠3

∠5＝∠1

DE＝AH，

∴△DEF≌△AHF（AAS），

∴AF＝DF，EF＝HF＝EH，且EH＝BH，

∴EF：BF＝1：3，故③正確；

∵∠1＝∠2＋∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，

∴∠5＝∠3＋∠4，

∴∠5≠∠4，故④錯誤，

綜上所述：正確的答案有3個，

故選：C．

點睛: 本題考查了中垂線的判定及性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定及性質，三角形的中位線及相似三角形的判定及性質和等積變換等知識．