Question

如圖，半圓O的直徑AB=20．將半圓O繞著點B順時針旋轉54°得到半圓O′，弧A′B交AB于點P．
（1）求AP的長；
（2）求圖中陰影部分的面積（結果精確到0.1）．
（參考數據：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38，π=3.14．）

Answer 1

【答案】分析：（1）此題要作輔助線，連接A'P，據題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據角的余弦值與三角形邊的關系，代入三角函數進行求解，可求出邊AP的長．
（2）作O'E⊥PB于點E，連接O'P，同樣直角三角形中解題，根據角的正弦值與三角形邊的關系，求出邊O'E，根據幾何關系及扇形面積公式，可求陰影部分的面積．
解答：解：（1）連接A'P．
∵A'B為直徑，
∴∠A'PB=90度，
在Rt△A'PB中，A'B=AB=20，∠A'BP=54°，
∴BP=A'Bcos∠A'BP=20cos54°=11.8，
∴AP=AB-BP=8.2；

（2）作O'E⊥PB于點E，連接O'P．
在Rt△O'EB中，，∠O'BE=54°，
∴O'E=O'Bsin∠O'BE=10sin54°=8.1，
∵∠O'BP=∠O'PB=54°，
∴∠BO'P=72°，
S_△O′PB=BP•O′E=×11.8×8.1，
S_扇形=，
S_弓形=S_扇形-S_△O′PB，S_陰影=S_半圓-（S_扇形-S_△O′PB）=π×100+×11.8×8.1-≈142.0．
點評：本題利用了銳角三角函數的概念，等腰三角形的性質，垂徑定理，扇形的面積公式，三角形的面積公式，圓面積公式求解．