Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為（a，5），半徑為5的⊙P交直線y=x于點A，B，若弦AB=8，-則a的值為5+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作PC⊥y軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結PB，由于OC=5，PC=a，易得D點坐標為（5，5），則△OCD為等腰直角三角形，△PED也為等腰直角三角形．由PE⊥AB，根據垂徑定理得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，在Rt△PBE中，利用勾股定理可計算出PE=3，則PD=$\sqrt{2}$PE=3$\sqrt{2}$，所以a=5+3$\sqrt{2}$．

解答 解：作PC⊥y軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結PB，如圖，
∵⊙P的圓心坐標是（a，5），
∴OC=5，PC=a，
把x=5代入y=x得y=5，
∴D點坐標為（5，5），
∴CD=5，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴△PED也為等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△PBE中，PB=5，
∴PE=$\sqrt{B{P}^{2}-B{E}^{2}}$=3，
∴PD=$\sqrt{2}$PE=3$\sqrt{2}$，
∴a=5+3$\sqrt{2}$．
故答案為：5+3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓的綜合題，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質．