Question

（2010•蘇州）如圖，以A為頂點的拋物線與y軸交于點B、已知A、B兩點的坐標分別為（3，0）、（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設M（m，n）是拋物線上的一點（m、n為正整數），且它位于對稱軸的右側．若以M、B、O、A為頂點的四邊形四條邊的長度是四個連續的正整數，求點M的坐標；
（3）在（2）的條件下，試問：對于拋物線對稱軸上的任意一點P，PA²+PB²+PM²＞28是否總成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標，可將拋物線的解析式設為頂點式，然后將B點坐標代入求解即可；
（2）由于M在拋物線的圖象上，根據（1）所得拋物線的解析式即可得到關于m、n的關系式：n=（m-3）²，由于m、n同為正整數，因此m-3應該是3的倍數，即m應該取3的倍數，可據此求出m、n的值，再根據“以M、B、O、A為頂點的四邊形四條邊的長度是四個連續的正整數”將不合題意的解舍去，即可得到M點的坐標；
（3）設出P點的坐標，然后分別表示出PA²、PB²、PM²的長，進而可求出關于PA²+PB²+PM²與P點縱坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出PA²+PB²+PM²的最大（小）值，進而可判斷出所求的結論是否恒成立．
解答：解：（1）設y=a（x-3）²，
把B（0，4）代入，
得a=，
∴y=（x-3）²；

（2）解法一：
∵四邊形OAMB的四邊長是四個連續的正整數，其中有3、4，
∴可能的情況有三種：1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6，
∵M點位于對稱軸右側，且m，n為正整數，
∴m是大于或等于4的正整數，
∴MB≥4，
∵AO=3，OB=4，
∴MB只有兩種可能，∴MB=5或MB=6，
當m=4時，n=（4-3）²=（不是整數，舍去）；
當m=5時，n=（不是整數，舍去）；
當m=6時，n=4，MB=6；
當m≥7時，MB＞6；
因此，只有一種可能，即當點M的坐標為（6，4）時，MB=6，MA=5，
四邊形OAMB的四條邊長分別為3、4、5、6．
解法二：
∵m，n為正整數，n=（m-3）²，
∴（m-3）²應該是9的倍數，
∴m是3的倍數，
又∵m＞3，
∴m=6，9，12，
當m=6時，n=4，
此時，MA=5，MB=6，
∴當m≥9時，MB＞6，
∴四邊形OAMB的四邊長不能是四個連續的正整數，
∴點M的坐標只有一種可能（6，4）．

（3）設P（3，t），MB與對稱軸交點為D，
則PA=|t|，PD=|4-t|，PM²=PB²=（4-t）²+9，
∴PA²+PB²+PM²=t²+2[（4-t）²+9]
=3t²-16t+50
=3（t-）²+，
∴當t=時，PA²+PB²+PM²有最小值；
∴PA²+PB²+PM²＞28總是成立．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定以及二次函數最值的應用，同時還考查了分類討論的數學思想，難度較大．