Question

如圖，在△ABC中，BC=

3

+1，∠B=30°，∠C=45°，當以A為圓心的⊙A與直線BC：（1）相切；（2）相交；（3）相離時，分別求⊙A的半徑r．

Answer 1

分析：過A作AD垂直于BC，由已知的度數，利用特殊角的三角函數值表示出BD與DC，BD+DC=BC，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出AD的長，
（1）若圓A與直線BC相切，AD=r，求出此時r的值；
（2）若圓A與直線BC相交，AD小于r，求出r的范圍；
（3）若圓A與直線BC相離，AD大于r，求出r的范圍．

解答：解：設AD=k，根據題意得：DC=k，BD=

3

k，
∴BC=BD+DC=

3

k+k=

3

+1，即k=1，
∴AD=1，
（1）當圓A與直線BC相切時，AD=r，此時圓A半徑為1；
（2）當圓A與直線BC相交時，AD＜r，此時r＞1；
（3）當圓A與直線BC相離時，AD＞r，此時0＜r＜1．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系來判斷．