Question

已知關(guān)于x的方程x²+（3k-2）x-6k=0，
（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊a=6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）計(jì)算方程的根的判別式，若△=b²-4ac≥0，則證明方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）已知a=6，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn)．

解答：（1）證明：∵△=b²-4ac=（3k-2）²-4•（-6k）=9k²-12k+4+24k=9k²+12k+4=（3k+2）²≥0
∴無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）解：①若a=6為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則△=0．
∴（3k+2）²=0，解得：k=-

2

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．
此時原方程化為x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此時△ABC三邊為6，2，2不能構(gòu)成三角形，故舍去；
②若a=b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設(shè)b=a=6
代入方程：6²+6（3k-2）-6k=0
∴k=-2
則原方程化為x²-8x+12=0
（x-2）（x-6）=0
∴x₁=2，x₂=6
即b=6，c=2
此時△ABC三邊為6，6，2能構(gòu)成三角形，
綜上所述：△ABC三邊為6，6，2．
∴周長為6+6+2=14．

點(diǎn)評：重點(diǎn)考查了根的判別式及三角形三邊關(guān)系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關(guān)系定理檢驗(yàn)．