Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，動點P以每秒1個單位長度的速度從點A開始，沿AB邊向點B移動，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E、設點P運動時間為t秒（0＜t＜10），△PAD和△PBE的面積分別為S₁，S₂，
（1）當t=1時，求

PD

BC

的值；
（2）在點P移動的過程中，是否存在t值，使得3S₁+S₂=24？若存在，求出這個t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知P點的移動速度，當t=1s時，AP=1，由題意可得，△APD∽△PBE，可知

PD

BC

=

AP

AB

，可得出

PD

BC

的值；
（2）假設存在t值，使得3S₁+S₂=24，分別解直角三角形APD、PBE，可得到PD、PE、AD、BE關于t的關系式，在用它們表示面積，再由3S₁+S₂=24可得關于t的等式，即可求得t的值．

解答：解：（1）動點P以每秒1個單位長度的速度從點A開始，沿AB邊向點B移動，
當t=1時，AP=1，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠A+∠APD=90°
∴∠A=∠BPE，∠APD=∠B
∴△APD∽△PBE
∴

PD

BC

=

AP

AB

=

1

10

故當t=1時，

PD

BC

=

1

10

；

（2）假設存在t值，使得3S₁+S₂=24，則：
AP=t，PB=10-t，
由題意得，sin∠A=cos∠B=

4

5

，cos∠A=sin∠B=

3

5

，
∴

PD

PA

=

PE

PB

=

4

5

，

AD

PA

=

BE

PB

=

3

5

∴PD=

4

5

t，PE=

4

5

（10-t），AD=

3

5

t，BE=

3

5

（10-t）
∵S₁=

1

2

×PD×AD=

6

25

t²，S₂=

1

2

×PE×BE=

6

25

（10-t）²
∴3×

6

25

t²+

6

25

（10-t）²=24
解得t=5s
∴存在t=5秒，使得3S₁+S₂=24．

點評：本題考查了解直角三角形的應用以及相似三角形的判斷和性質．