Question

（一）蘭蘭在玩積木游戲時，把三個正方形積木擺成一定的形狀，正視圖如圖①，

問題（1）：若此中的三角形△DEF為直角三角形，P的面積為9cm²，Q的面積為15cm²，則M的面積為_______；

問題（2）：若P的面積為36cm²，Q的面積為64 cm²，同時M的面積為100 cm²，則△DEF為_______三角形；

（二）圖形變化：

Ⅰ.如圖②，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，你能找出這三個半圓的面積之間有什么關系嗎？請說明理由。

Ⅱ.如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3cm和4cm，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能利用上面的結論求出陰影部分的面積嗎？

 

Answer 1

【答案】

（一）（1）24；（2）直角；（二）；6

【解析】

試題分析：（一）（1）根據正方形的面積公式結合勾股定理就可發現大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；

（2）根據大正方形的面積等于兩個小正方形的面積和，可以得到其中兩條邊平方的和等于第三條邊的平方，即根據勾股定理的逆定理就可證明是直角三角形；

（二）I根據半圓的面積公式以及勾股定理就可發現：兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積；

II根據上述結論就可發現：陰影部分的面積=直角三角形的面積．

（一）∵P=DE²，Q=EF²，M=DF²，DE²+EF²=DF²，

∴M=P+Q=24；

∵M=P+Q，

即DE²+EF²=DF²，

∴△DEF是直角三角形；

（二）I設直角三角形的邊從小到大分別是a，b，c．則a²+b²=c²．

兩邊同除以，即得：兩小半圓的面積和等于大半圓的面積．

II根據I中的結論，得陰影部分的面積=S直角三角形的面積=×3×4=6．

考點：勾股定理，勾股定理的逆定理

點評：解答本題的關鍵是注意：分別以直角三角形的邊作相同的圖形，則兩個小圖形的面積等于大圖形的面積．