Question

某地盛產一種香菇，上市時，經銷商按市場價格10元/千克收購了2000千克香菇存放入冷庫中．據預測，香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計340元，而且香菇在冷庫中最多保存90天，同時，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售．若經銷商存放x 天后，將這批香菇一次性出售．
（1）設這批香菇出售所獲利潤為y元，試寫出y與x之間的函數關系式；
（2）經銷商將這批香菇存放多少天后出售，獲得利潤最大？最大利潤是多少？
（3）為了避免過度浪費，經銷商決定出售這批香菇時銷售量不低于1700千克，則銷售這批香菇的成本最多為多少元？（銷售成本包括進貨成本以及支出的各種費用）

Answer 1

分析：（1）根據等量關系“利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用=（市場價格+0.5×存放天數）×（原購入量-6×存放天數）-收購成本-各種費用”列出函數關系式；
（2）根據（1）中函數關系式和x的取值范圍，利用配方法可求最大值；
（3）根據題意列出成本的函數關系式，求出x的取值范圍，即可求得成本最多為多少．

解答：解：（1）由題意得：銷售金額=（10+0.5x）（2000-6x）=-3x²+940x+20000，
故總利潤y=-3x²+940x+20000-10×2000-340x=-3（x-100）²+30000（1≤x≤90，且x為整數）；

（2）y=-3（x-100）²+30000，
∵-3＜0，
∴開口向下，
∵香菇在冷庫中最多保存90天，
∴x=90時，w_最大=29700元
則存放90天后出售這批香菇可獲得最大利潤29700元．

（3）銷售量2000-6x≥1700，
解得：x≤50，
成本=10×2000+340x，
當x=50時，成本最高=20000+340×50=37000（元）．
答：銷售這批香菇的成本最多為37000元．

點評：此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數的最值求法，難度較大，熟練掌握求二次函數最值的方法是解題關鍵．