Question

閱讀下列文字：我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積時，可以得到一個數學等式，例如由圖a可以得到a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）．請回答下列問題：

（1）寫出圖b中所表示的數學等式是

2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）

．
（2）試畫出一個長方形，使得用不同的方法計算它的面積時，能得到2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b）．
（3）課本68頁練一練，有一題：如圖c，用四塊完全相同的長方形拼成正方形，用不同的方法，計算圖中陰影部分的面積，你能發現什么？（用含有x、y的多少表示）

4xy=（x+y）²-（x-y）²

．
（4）通過上述的等量關系，我們可知：
當兩個正數的和一定時，它們的差的絕對值越小則積越

大

（填“大”或“小”）．
當兩個正數的積一定時，它們的差的絕對值越小則和越

小

（填“大”或“小”）．
（5）利用上面得出的結論，對于正數x，求：
代數式：2x+

2

x

的最小值是

4

；
代數式：x（6-x）的最大值是

9

．

Answer 1

分析：（1）圖b面積有兩種求法，可以由長為2a+b，寬為a+2b的矩形面積求出，也可以由兩個邊長為a與邊長為b的兩正方形，及4個長為a，寬為b的矩形面積之和求出，表示即可；
（2）根據題意畫出相應的圖形，如圖所示；
（3）陰影部分的面積可以由邊長為x+y的大正方形的面積減去邊長為x-y的小正方形面積求出，也可以由4個長為x，寬為y的矩形面積之和求出，表示出即可；
（4）兩正數和一定，則和的平方一定，根據等式4xy=（x+y）²-（x-y）²，得到被減數一定，差的絕對值越小，即為減數越小，得到差越大，即積越大；當兩正數積一定時，即差一定，差的絕對值越小，得到減數越小，可得出被減數越小；
（5）利用上述的結論可得出所求的最大值及最小值．

解答：解：（1）2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）；

（2）根據題意畫出圖形，如圖所示：


（3）4xy=（x+y）²-（x-y）²；

（4）當兩個正數的和一定時，它們的差的絕對值越小則積越大；
當兩個正數的積一定時，它們的差的絕對值越小則和越小；

（5）2x+

2

x

的最小值是4；x（6-x）的最大值是9．
故答案為：（1）2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）；（3）4xy=（x+y）²-（x-y）²；（4）大；小；（5）4；9

點評：此題考查了整式的混合運算的應用，弄清題意是解本題的關鍵．