Question

探究與思考：在計算m+m²+m³+…+mⁿ的和時，我們可以用以下思路：
令A=m+m²+m³+…+mⁿ，則mA=m²+m³+…+mⁿ⁺¹；
（1）試利用以上思路求出m+m²+m³+…+mⁿ的和；
（2）請利用（1）求出m+2m²+3m³+…+nmⁿ的和．

Answer 1

解：（1）設A=m+m²+m³+…+mⁿ，則mA=m²+m³+…+mⁿ⁺¹．
∴mA-A=mⁿ⁺¹-m，即（m-1）A=mⁿ⁺¹-m
∴A=
（2）m+2m²+3m³+…+nmⁿ+（m+2m²+3m³+…+nmⁿ）=（n+1）（m+m²+m³+…+mⁿ）=（n+1）
∴m+2m²+3m³+…+nmⁿ=
分析：（1）根據已知條件，所求的式子乘以m，然后減去原式，即可求解；
（2）求出所求的式子的二倍，相加時首項與尾項相加，然后利用（1）的結論即可求解．
點評：本題考查了整式的混合運算，正確理解已知的式子i，求得（1）中式子的結果是關鍵．