Question

在平面直角坐標系xOy中，已知動點P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，點P的橫坐標為m（m＞0）。以點P為圓心，為半徑的圓交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點（D點在點C的上方）。點E為平行四邊形DOPE的頂點（如圖）。

（1）寫出點B、E的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）連接DB、BE，設(shè)△BDE的外接圓交y軸于點Q（點Q異于點D），連接EQ、BQ。試問線段BQ與線段EQ的長是否相等？為什么？

（3）連接BC，求∠DBC－∠DBE的度數(shù)。

Answer 1

解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。

（2）線段BQ與線段EQ的長相等。理由如下：

由（1）知B（3m，0），E（m，4m），

∵根據(jù)圓的對稱性，點D點B關(guān)于y=x對稱，

∴D（0，3m）。

∴，，

。

∴。∴△BDE是直角三角形。

∴BE是△BDE的外接圓的直徑。

設(shè)△BDE的外接圓的圓心為點G，則由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）。

過點G作GI⊥DG于點I，則I（0，2m）。

根據(jù)垂徑定理，得DI=IQ ，∴Q（0，m）。

∴。

∴BQ=EQ。

（3）延長EP交x軸于點H，則EP⊥AB，BH=2m。

根據(jù)垂徑定理，得AH=BH=2m，AO= m。

根據(jù)圓的對稱性，OC=OA= m。

又∵OB=3m，，，

∴。。

又∵∠COB=∠EDB=90⁰，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。

∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。

又∵OB=OC，∴∠DBO=45⁰。∴∠DBC－∠DBE=45⁰。