Question

某公司銷售一種新型產品，現準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售．若只在國內銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數關系式為y=x+150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為w_內（元），（利潤=銷售額-成本-廣告費）．若只在國外銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數，10≤a≤40），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納x²元的附加費，設月利潤為w_外（元），（利潤=銷售額-成本-附加費）．
（1）分別求出w_內，w_外與x間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）；
（2）當x為何值時，在國內銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內銷售月利潤的最大值相同，求a的值；
（3）如果某月要將5000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據“利潤=銷售額-成本-廣告費”可求出w_內與x間的函數關系式，根據“利潤=銷售額-成本-附加費”可求出w_外與x間的函數關系式；
（2）先運用二次函數的性質求出w_內取最大值時x的值，再根據w_外的最大值等于w_內的最大值，列出關于a的方程，解方程即可求出a的值；
（3）先分別求出當x=5000時，w_內與w_外的值，再分w_內＜w_外，w_內=w_外，w_內＞w_外這三種情況進行討論，即可求出a的取值范圍．
解答：解：（1）w_內=x（y-20）-62500=x（-x+150-20）-62500=-x²+130x-62500，
即w_內=-x²+130x-62500，
w_外=x（150-a）-x²=-x²+（150-a）x，
即w_外=-x²+（150-a）x；

（2）∵w_內=-x²+130x-62500，
∴當x=-=6500時，w_內最大；
∵在國外銷售月利潤的最大值與在國內銷售月利潤的最大值相同，
∴=，
整理，得（150-a）²=14400，
解得a₁=30，a₂=270（不合題意，舍去）．
∴a=30．

（3）當x=5000時，w_內=-×5000²+130×5000-62500=337500，
w_外=-×5000²+（150-a）×5000=-5000a+500000．
若w_內＜w_外，在國外銷售才能使所獲月利潤較大；
若w_內=w_外，在國內、外銷售所獲月利潤一樣大；
w_內＞w_外，在國內銷售才能使所獲月利潤較大．
點評：本題考查了二次函數在實際生活中的應用，難度適中，根據利潤的關系式分別寫出w_內，w_外與x間的函數關系式是解題的關鍵．