Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與AC相切于一點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若AD=2，CF=，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由AC是⊙O的切線，得OE⊥AC，再根據題意得OE∥BF，則∠OED=∠F，OD=OE，從而得出∠F=∠BDF，即BD=NF；
（2）設⊙O的半徑為r，由OE∥BF，可證明△AOE∽△ABC，則，即可求得r，進而得出⊙O的面積．
解答：（1）證明：連接OE，∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC
又∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
 即BD=BF；             （4分）

（2）解：設⊙O的半徑為r，
∵OE∥BF，
∴△AOE∽△ABC，
∴，，
解得r=，
∴S_⊙O=．（4分）
點評：本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，本題涉及的知識點：兩直線平行，等腰三角形的判定、三角形相似、圓的面積．