Question

．（10分）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．

【小題1】（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標；
【小題2】（2）設直線交軸于點．在線段的垂直平分線上是否存在點，使得點到直線的距離等于點到原點的距離？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；
【小題3】（3）過點作軸的垂線，交直線于點，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

【小題1】（1）設拋物線解析式為，把代入得．
，
頂點
【小題2】（2）假設滿足條件的點存在，依題意設，
由求得直線的解析式為，
它與軸的夾角為，設的中垂線交于，則．
則，點到的距離為．
又．
．
平方并整理得：
．
存在滿足條件的點，的坐標為
【小題3】（3）由上求得．
①若拋物線向上平移，可設解析式為．
當時，．
當時，．
或．
．
②若拋物線向下移，可設解析式為．
由，
有．
，．
向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移個單位長．

解析