Question

【題目】如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經過點A，點P是拋物線上點A，C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，點D，E的坐標分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD，PE，DE．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若d＝|PD﹣PF|．請說明d是否為定值？若是定值，請求出其大小；若不是定值，請說明其變化規律？

（3）求出△PDE周長取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）d是定值，d＝|PD﹣PF|的定值為2；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數法求出拋物線解析式即可；

（2）首先表示出P，F點坐標，再利用兩點之間距離公式得出PD，PF的長，進而求出即可；

（3）過E作EF⊥x軸，交拋物線于點P，求得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），當P、E、F三點共線時，PE+PF最小；當P與A重合時，PE+PF最大；即可解答．

（1）∵邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經過點A，

∴C（0，8），A（﹣8，0），

設拋物線解析式為：y＝ax2+c，

則 ，

解得：

∴拋物線解析式為: ．

（2）設P（x，），則F（x，8），

則PF＝8-（）＝．

PD2＝x2+[6﹣（﹣+8）]2＝

∴，

∴

∴d＝|PD﹣PF|為定值2；

（3）如圖，過點E作EF⊥x軸，交拋物線于點P，

由d＝|PD﹣PF|為定值2，

得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），

又∵D（0，6），E（﹣4，0）

∴

∴

當PE和PF在同一直線時PE+PF最小，

得C△PDE最小值 ．

設P為拋物線AC上異于點A的任意一點，過P作PM∥x軸，交AB于點M，連接ME，如圖2．

由于E是AO的中點，易證得ME≥PE（當點P接近點A時，在△PME中，顯然∠MPE是鈍角，故ME≥PE，與A重合時，等號成立），而ME≤AE+AM，

所以PE≤AE+AM．

所以當P與A重合時，PE+PF最大，

AE＝8﹣4＝4， ．

得C△PDE最大值＝．

∴