Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D. 點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x(s)。

【小題1】（1）當x為何值時，PQ⊥AC，x為何值時，PQ⊥AB；
【小題2】（2）設△PQD的面積為y(cm²)，當0<x<2時，求y與x的函數關系式；
【小題3】（3）當0<x<2時，求證：AD平分△PQD的面積。

Answer 1

【小題1】1）
解：當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC. 當Q在AC上時，
由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x，∵AB=BC=CA="4 " ∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4-x=2×2x,  ∴，
當（Q在AC上）時，PQ⊥AC，………2分
 
如圖：①當PQ⊥AB時，BP=x，BQ=，AC+AQ=2x，                  ∵AC=4，∴AQ=2x-4，∴ 
∴，故時PQ⊥AB. ………4分
【小題2】（2）
解：如圖②，當0<x<2時，P在BD上，Q在AC上，
過點Q作QH⊥BC于H，∵∠C=60°，QC=2x，
∴QH=QC×sin60°=x
，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∴DP=2-x，………5分
∴………6分
【小題3】（3）當0<x<2時，在Rt△QHC中，QC=2x，∠C=60°，
∴HC=x∴BP=HC，∴BD=CD， ∴DP=DH
∵AD⊥BC，QH⊥BC   ∴AD∥QH，
∴OP="OQ" ∴ 
∴AD平分△PQD的面積………7解析:
略