Question

如圖，直線L與x軸、y軸分別交于A（6，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C（4，0）為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB（包括端點(diǎn)A、B）上運(yùn)動(dòng)．
（1）求直線L的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1時(shí)，按角的大小進(jìn)行分類，請(qǐng)你確定△PAC是哪一類三角形，并說明理由；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△POC為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A（6，0）、B（0，3）兩點(diǎn)代入直線L的方程，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式；
（2）首先求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)P、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，得出PC⊥x軸，從而確定△PAC的形狀；
（3）判斷P是否存在，可以先假設(shè)P存在，根據(jù)條件就可以求出關(guān)于P的條件，看是否滿足實(shí)際情況．

解答：解：（1）設(shè)直線L的解析式為y=kx+b，
∵直線L過A、B兩點(diǎn)，
∴

6k+b=0 b=3

，
∴

k=- 1 2 b=3

，
∴y=-

1

2

x+3；

（2）y=1時(shí)，-

1

2

x+3=1，
∴x=4，
∵P、C的橫坐標(biāo)都為4，
∴PC⊥x軸，
∴△PAC是直角三角形；

（3）①顯然，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，△POC是直角三角形；
②由（2）知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，1）時(shí)，△POC是直角三角形；
③假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（m，n），使∠OPC=90°．
作PH⊥x軸，H為垂足，
∵△POH∽△CPH，
∴PH²=OH•CH，
∵PH=n，OH=m，CH=4-m，
∴n²=m（4-m）---------------------------①
又∵點(diǎn)P在直線L上，
∴n=-

1

2

m+3---------------------------②
解由①和②組成的方程組，得

m1=2 n1=2

，

m2= 18 5 n2= 6 5

，
∴P（2，2）或P(

18

5

，

6

5

)．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，坐標(biāo)分別為：（0，3），（4，1），（2，2）和(

18

5

，

6

5

)．

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的解析式的常用方法是待定系數(shù)法，并且本題是存在性問題，是中考中常見的問題．