Question

【題目】如圖：已知等邊三角形ABC，D為AC邊上的一動點，CD=nDA，連線段BD，M為線段BD上一點，∠AMD=60°，AM交BC于E．
（1）若n=1，則= ． =；
（2）若n=2，求證：BM=6DM；
（3）當(dāng)n=時，M為BD中點．
（直接寫結(jié)果，不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）解：當(dāng)n=1時，CD=DA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BD⊥AC，∠BAC=60°，
∴∠ADM=90°，
又∵∠AMD=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠BAE=∠BAC﹣∠MAD=30°，即∠BAE=∠EAD，
∴AE為△ABC的中線，
∴=1；
在△AMD中，MD=AM，（30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）
∵∠BAM=∠ABM=30°，
∴AM=BM，
∴=2．
（2）證明：∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°
∠CAE+∠BAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
又∵BA=CA，∠BAD=∠ACE=60°
∴△BAD≌△ACE（ASA）
∴AD=CE∴CD=BE
作CF∥BD交AE于F，
∴===①，==②，
∴①×②得== ，
∴BM=6DM．
（3）解：∵M為BD中點，
∴BM=MD，
∵△BAD≌△ACE（ASA）
∴AD=CE
∴CD=BE
∵△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD
∴AD=③，DC=④，
③④得CD=AD，
∴n= ．
【解析】此題為考查三角形中線段的倍數(shù)關(guān)系，相關(guān)知識點的綜合應(yīng)用能力，解題關(guān)鍵在如何作輔助線．
（1）CD=nDA，當(dāng)n=1時，CD=DA，據(jù)等邊三角形ABC的三線合一，可以得出∠BDA=90°，由∠AMD=60°，可得∠EAD=30°，
又∠BAC=60°，可得∠BAE=30°，AE為∠BAC的角平分線．依據(jù)三線合一可得BE=EC．容易得AM=2MD，AM=BM．問題得到解決．
（2）若n=2，則CD=2DA，△ABC是等邊三角形，∠AMD=60°，可證明△BAD≌△ACE，得AD=CE，CD=BE；作輔助線CF∥BD交AE于F，可得===①，==②，觀察①②的乘積，可得BM、DM的數(shù)量關(guān)系．
（3）由M為BD中點，可知BM=MD．由∠AMD=60°，△ABC為等邊三角形，可得△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD，由相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得AD=，DC=，運用比例的性質(zhì)合理變形，問題可求．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例的相關(guān)知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例才能正確解答此題．