Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB于E，在線段 AB上，連接EF、CF．則下列結論：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正確的是（ ）

A.②④
B.①②④
C.①②③④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵F是AD的中點， ∴AF=FD，
∵在ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正確；
②延長EF，交CD延長線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正確；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC ，
故S△BEC=2S△CEF ， 故③錯誤；
④設∠FEC=x，則∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正確，
故選：C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．