Question

（1）設α、β是方程x²+2x-9=0的兩個實數根，求α²β+αβ²的值．
（2）先化簡，再求值：(1+

2b2

a2-b2

)÷(1+

2b

a-b

)，其中a=1+

3

，b=1-

3

．

Answer 1

分析：（1）用兩種方法解答：求出方程的根，直接代入α²β+αβ²求值或利用根與系數的關系解答；
（2）將(1+

2b2

a2-b2

)÷(1+

2b

a-b

)轉化為兩根之和與兩根之積的表達式，再根據根與系數的關系解答．

解答：解：（1）解法1：解方程x²+2x-9=0得：
x₁=-1+

10

，x2=-1-

10

．
∴α+β=(-1+

10

)+(-1-

10

)=-2，αβ=(-1+

10

)(-1-

10

)=-9，
∴α²β+αβ²=αβ（α+β）=（-9）×（-2）=18．
解法2：由根與系數的關系得：α+β=-2，αβ=-9，
∴α²β+αβ²=αβ（α+β）=（-9）×（-2）=18．
（其它解法合理，參照給分）．
（2）解：原式=

a2-b2+2b2

a2-b2

÷

a-b+2b

a-b

=

a2+b2

(a+b)(a-b)

•

a-b

a+b

=

a2+b2

(a+b)2

=

(a+b)2-2ab

(a+b)2

，
∵a+b=1+

3

+1-

3

=2，ab=(1+

3

)(1-

3

)=-2，原式=

4+4

4

=2．

點評：本題考查了一元二次方程的解、根與系數的關系、分式的化簡求值等內容，利用整體思想可順利解答．