Question

8．如圖，長方形ABCD在直角坐標系中，邊BC在x軸上，B點坐標為（m，0）且m＞0．AB=a，BC=b，且滿足b=$\sqrt{3-a}$-$\sqrt{a-3}$+4
（1）求a，b的值及用m表示出點D的坐標；
（2）連接OA，AC，若△OAC為等腰三角形，求m的值；
（3）△OAC能為直角三角形嗎？若能，求出m的值，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據二次根式的意義，得出a的值，進而求出b，即可得出OC，即可得出結論；
（2）先利用勾股定理表示出OA，OC，求出AC，分三種情況用兩邊相等建立方程求解即可；
（3）分三種情況用勾股定理建立方程求解即可求出m．

解答 解：（1）∵b=$\sqrt{3-a}$-$\sqrt{a-3}$+4，
∴3-a≥0，a-3≥0，
∴a=3，
∴b=4，
∴AB=3，BC=4，
∵B點坐標為（m，0），
∴OC=m+4，
∴D（m+4，3）；
（2）如圖1，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，根據勾股定理得，AC=5，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{{m}^{2}+9}$，OC=m+4，
∵△OAC為等腰三角形，
∴①當OA=AC時，
∴$\sqrt{{m}^{2}+9}$=5，
∴m=4或m=-4（舍）
②當OA=OC時，
∴$\sqrt{{m}^{2}+9}$=m+4，
∴m=-$\frac{7}{8}$（舍），
③當AC=OC時，
∴5=m+4，
∴m=1，
即：m=1或m=4時，△OAC為等腰三角形；

（3）由（2）知，OA=$\sqrt{{m}^{2}+9}$，OC=m+4，AC=5，
∵△OAC為直角三角形，
∴①當OA²+OC²=AC²時，
∴m²+9+（m+4）²=25，
∴m=0（舍）或m=-4（舍）；
②當OA²+AC²=OC²時，m²+9+25=（m+4）²，
∴m=$\frac{9}{4}$
③當AC²+OC²=OA²時，25+（m+4）²=m²+9，
∴m=-4（舍），
即：m=$\frac{9}{4}$時，△OAC為直角三角形．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了二次根式的意義，勾股定理，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是用m表示出OA，OC是一道中等難度的中考常考題．