Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4，拋物線(xiàn)與x軸相交于O、M兩點(diǎn)，OM=4；矩形ABCD的邊BC在線(xiàn)段OM上，點(diǎn)A、D在拋物線(xiàn)上．
（1）請(qǐng)寫(xiě)出P、M兩點(diǎn)坐標(biāo)，并求這條拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為l，求l的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到軸的距離是4，拋物線(xiàn)與x軸相交于O、M兩點(diǎn)，OM=4，知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是OM的一半，即2；點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4．點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4，0）．根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可以運(yùn)用頂點(diǎn)式求函數(shù)的解析式，再進(jìn)一步把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入即可．
（2）設(shè)C（x，0），則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．分別表示出矩形的長(zhǎng)和寬，再進(jìn)一步根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．然后根據(jù)二次函數(shù)的最值方法進(jìn)行求解；
解答：解：（1）根據(jù)題意，得P（2，4），M（4，0），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x-2）²+4，
∵函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，0），則4a+4=0，
∴a=-1，
故可得函數(shù)解析式為：y=-（x-2）²+4=4x-x²；

（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²），
故可得：l=2（BC+CD）=2[（4-2x）+（4x-x²）]=2（-x²+2x+4）=-2（x-1）²+10，
即當(dāng)x=1時(shí)，l有最大值，即l最大值為10；
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題目，第一問(wèn)要求我們能夠根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)拇�定系�?shù)法求得二次函數(shù)的解析式，第二問(wèn)要求我們能夠利用建立函數(shù)關(guān)系式的方法求得周長(zhǎng)的最值，難度一般．