Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點D在拋物線上且橫坐標為2．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）將該拋物線向下平移，使得新拋物線的頂點G在x軸上．原拋物線上一點M平移后的對應點為點N，如果△AMN是以MN為底邊的等腰三角形，求點N的坐標；

（3）若點P為拋物線上第一象限內的動點，過點B作BE⊥OP，垂足為E，點Q為y軸上的一個動點，連接QE、QD，試求QE+QD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點坐標為或；（3）

【解析】

（1）由拋物線與x軸兩交點設交點式，把點C代入即求得拋物線表達式；

（2）由原拋物線頂點式可知，向下平移4個單位后頂點落在x軸上，故MN＝4且MN⊥x軸．由于△AMN為等腰三角形且MN為底邊，故有x軸垂直平分MN，得到點N縱坐標為﹣2，代入新拋物線解析式解方程即求得點N橫坐標．

（3）作點D關于y軸的對稱點D'，根據軸對稱性質即有QD＝QD'，易得當點D'、Q、E在同一直線上時，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小．由于點E隨點P運動也是一個動點，由∠OEB＝90°且O、B是定點可得點E的運動軌跡為圓弧．故當點E運動到點D'與圓心所連線段上時，D'E最小．求出圓心F的坐標，即求出D'F和半徑r，所以D'E＝D'F﹣r，所求即為QE+QD的最小值．

解：（1）拋物線與軸交于、，

設交點式為，

拋物線經過點，

解得：，

拋物線表達式為

（2）

向下平移后新拋物線為，頂點，即拋物線向下平移4個單位

原拋物線上一點平移后的對應點為點N，

，軸

是以為底邊的等腰三角形，且點在軸上

軸垂直平分，

的縱坐標為

在新拋物線為上，

，

解得：，

點坐標為或．

（3）如下圖所示，作點關于軸的對稱點點，連接，取中點，連接，

點D在拋物線上且橫坐標為2，點為軸上的動點，

，，

當點、、在同一直線上時，最小，

于點，為拋物線上第一象限內的動點，

點在以為直徑的圓在第一象限內的弧上運動，

圓心，，

當點在線段上時，最小，

的最小值為．