Question

10、如圖，△ABC面積為1，第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，順次連接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁．第二次操作：分別延長A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至點A₂，B₂，C₂，使A₂B₁=A₁B₁，B₂C₁=B₁C₁，C₂A₁=C₁A₁，順次連接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，…按此規律，要使得到的三角形的面積超過2010，最少經過_____次操作（　　）

A、6

B、5

C、4

D、3

Answer 1

分析：先根據已知條件求出△A₁B₁C₁及△A₂B₂C₂的面積，再根據兩三角形的倍數關系求解即可．

解答：解：∵△A₁B₁B的邊長A₁B₁是△ABC邊長BC的2倍，兩三角形的兩邊互為另一三角形兩邊的延長線，
∴S_△A1B1B=2S_△ABC，
∵△ABC面積為1，∴S_△A1B1B=2．
同理可得，S_△C1B1C=2，S_△AA1C=2，
∴S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7；
同理可證S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1=49，
第三次操作后的面積為7×49=343，
第四次操作后的面積為7×343=2401．
故按此規律，要使得到的三角形的面積超過2010，最少經過4次操作．
故選C．

點評：此題屬規律性題目，解答此題的關鍵是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的關系，再根據此規律求解即可．