Question

如圖，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△OAB繞點O逆時針方向旋轉90°后得到△OCD．

（1）填空：點C的坐標是（    ,   ），點D的坐標是（    ,    ）；
（2）設直線CD與AB交于點M，求線段BM的長；
（3）在y軸上是否存在點P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）點C的坐標是(0，1)，點D的坐標是(－2，0)，（2）BM＝，（3）存在解析:
因為△OAB繞點O逆時針方向旋轉90°后得到△OCD，所以OB=OC=1，OA=OD=2所以點C的坐標是(0，1)，點D的坐標是(－2，0) ……………… 2分
（2）方法一：由（1）可知CD＝＝，BC＝1
又∠1＝∠5，∠4＝∠3
∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分
∴＝ 即＝
∴BM＝                                          ………………2分
方法二：設直線CD的解析式為y＝kx＋b
由（1）得
解得
∴直線CD的解析式為y＝ x＋1
又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO
∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分
∴＝ 即＝
∴BM＝                                          ………………2分
方法三
∵ ∴  
∴M的坐標為(，)                                    ………………2分
過點M作ME⊥y軸于點E，則ME＝，BE＝
∴BM＝＝                             ………………2分
（3）存在                
分兩種情況討論：
① 以BM為腰時
∵BM＝，又點P在y軸上，且BP＝BM
時滿足條件的點P有兩個，它們是P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)…………2分
過點M作ME⊥y軸于點E，∵∠BMC＝90°，
則△BME∽△BCM
∴＝
∴BE＝＝
又∵BM＝BP
∴PE＝BE＝
∴BP＝
∴OP＝2－＝
此時滿足條件的點P有一個，它是P₃ (0，)          ……………1分
② 以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點P、F，
由（2）得∠BMC＝90°，
∴PF∥CM
∵F是BM的中點，
∴BP＝BC＝
∴OP＝
此時滿足條件的點P有一個，它是P₄ (0，) ……………… 1分
綜上所述點P有四個：P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)、P₃ (0，) P₄ (0，)