Question

如圖，已知∠x0y=90°，線段AB=10，若點A在oy上滑動，點B隨著線段AB在射線ox上滑動，（A、B與O不重合），Rt△AOB的內切⊙K分別與OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述變化過程中：Rt△AOB的周長，⊙K的半徑，△AOB外接圓半徑，這幾個量中不會發生變化的是什么？并簡要說明理由；
（2）當AE=4時，求⊙K的半徑r．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形的性質，斜邊上的中線等于斜邊的一半，AB的長不變，即△AOB的外接圓半徑不變；
（2）設⊙K的半徑為r，連EK、KF，則四邊形EOFK是正方形，根據切線長定理，可求得r；

解答：解：（1）不會發生變化的是△AOB的外接圓半徑．理由如下：
∵∠AOB=90°，
∴AB是△AOB的外接圓的直徑，
AB的長不變，即△AOB的外接圓半徑不變；

（2）設⊙K的半徑為r，⊙K與Rt△AOB相切于E、F、P，連EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°，
∴四邊形EOFK是矩形，
又∵OE=OF
∴四邊形EOFK是正方形，
∴OE=OF=r，AE=AP=4，
∴PB=BF=6，
∴（4+r）²+（6+r）²=100，
∴r=-12（不符合題意），r=2．

點評：本題是一道中考壓軸題，考查了二次函數與三角形的內切圓、外接圓的綜合題，難度偏大．