Question

已知方程x³-（1+2·3^m）x²+（5ⁿ+2·3^m）x-5ⁿ=0。
（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一組正整數(shù)n，m，使得方程的三個根均為整數(shù)；
（3）證明：只有一組正整數(shù)n，m，使得方程的三個根均為整數(shù)。

Answer 1

解：（1）若n=m=0，則方程化為x³-3x²+3x-1=0，
即（x-1）³=0，
所以x₁=x₂=x₃=1；
（2）方程化為（x-1）（x²-2·3^mx+5ⁿ）=0，
設(shè)方程x²-2·3^mx+5ⁿ=0的兩個解為x₁，x₂
則x₁，₂=，
當m=n=1時，方程的三個根均為整數(shù)；
（3）設(shè)9^m-5ⁿ=k²（其中k為整數(shù)）
所以9^m-k²=5ⁿ，即（3^m-k）（3^m+k）=5ⁿ，
不妨設(shè)（其中i+j=n，i，j為非負整數(shù)），
因此：2·3^m=5^j（5^j-i+1），
又∵5不能整除2·3^m，
∴i=0，
因此有2·43^m=5ⁿ+1，要使三根均為整數(shù)，則只有一組正整數(shù)m=n=1，
此時x₁=x₂=1，x₃=5。