Question

已知方程x³-（1+2•3^m）x²+（5ⁿ+2•3^m）x-5ⁿ=0．
（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一組正整數n，m，使得方程的三個根均為整數；
（3）證明：只有一組正整數n，m，使得方程的三個根均為整數．

Answer 1

【答案】分析：（1）若n=m=0，則方程化為x³-3x²+3x-1=0，即（x-1）³=0．求解即可；
（2）設方程x²-2•3^mx+5ⁿ=0的兩個解為x₁，x₂．根據公式法求得后，再確定m，n的值；
（3）設9^m-5ⁿ=k²（其中k為整數），有9^m-k²=5ⁿ，即（3^m-k）（3^m+k）=5ⁿ，再設（其中i+j=n，i，j為非負整數），因此2•3^m=5^j（5^j-i+1），可得到2•3^m=5ⁿ+1，然后討論m，n的取值．
解答：解：（1）若n=m=0，則方程化為x³-3x²+3x-1=0，即（x-1）³=0．
所以x₁=x₂=x₃=1．

（2）方程化為（x-1）（x²-2•3^mx+5ⁿ）=0
設方程x²-2•3^mx+5ⁿ=0的兩個解為x₁，x₂．
則．
當m=n=1時，方程的三個根均為整數；

（3）設9^m-5ⁿ=k²（其中k為整數）
所以9^m-k²=5ⁿ，即（3^m-k）（3^m+k）=5ⁿ，
不妨設（其中i+j=n，i，j為非負整數），
因此：2•3^m=5^j（5^j-i+1），
又∵5不能整除2•3^m，
∴i=0，因此有2•3^m=5ⁿ+1，
要使三根均為整數，則只有一組正整數m=n=1，此時x₁=x₂=1，x₃=5．
點評：此題運用了立方差公式和公式法，（3）的難度較大，注意分類討論．