Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓交BC于D，過D作⊙O的切線EF交AC于E，交AB延長線于F．

（1）求證：DE⊥AC．

（2）若BD＝2，tan∠CDE＝，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，AD，由切線的性質得出OD⊥DE，證明OD是△ABC的中位線，得出OD∥AC，即可得出結論．

（2）證∠CDE=∠DAC，由三角函數定義得出AD＝2CD＝．由勾股定理求出AB=10，得出OA=OD=OB=5，AC=AB=10，證明△AEF～△ODF，進而得出答案．

（1）證明：連接OD，AD，如圖：

∵EF是⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝DC，

又∵OB＝OA，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∴DE⊥AC．

（2）解：由（1）得，

∵DE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CDE+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，

∴∠CDE＝∠DAC，

∴，

∴，

∴，

在Rt△ABD中，，

∴OA＝OD＝OB＝5，AC＝AB＝10，

在Rt△CDE中，DE2+CE2＝CD2，

∴，

解得CE＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝10﹣2＝8，

∵∠AEF＝∠ODF＝90°，∠F＝∠F，

∴△AEF～△ODF，

∴，即，

解得：．