Question

【題目】邊長為6的等邊△ABC中，點P從點A出發沿射線AB方向移動，同時點Q從點B出發，以相同的速度沿射線BC方向移動，連接AQ、CP，直線AQ、CP相交于點D．

（1）如圖①，當點P、Q分別在邊AB、BC上時，

①連接PQ，當△BPQ是直角三角形時，AP等于_____；

②∠CDQ的大小是否隨P，Q的運動而變化？如果不會，請求出∠CDQ的度數；如果會，請說明理由；

（2）當P、Q分別在邊AB、BC的延長線上時，在圖②中畫出點D，并直接寫出∠CDQ的度數．

Answer 1

【答案】（1）①2或4；②60°；（2）120°.

【解析】分析：

（1）①如圖3，由題意可知∠B=60°，然后分∠PQB=90°和∠QPB=90°兩種情況結合已知條件進行解答即可；②由已知條件易證△ABQ≌△CAP，由此可得∠BAQ=∠ACP，從而可得∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°，由此可得∠CDQ的大小不隨點P、Q的運動而改變；

（2）如圖4，由題意易證△ABQ≌△CAP，從而可得∠Q=∠P，結合∠P+∠BCP=60°可得∠Q+∠DCQ=60°，從而可得此時∠CDQ=120°．

詳解：

（1）如圖3，連接PQ，

①∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

由題意得，AP=BQ，

當∠PQB=90°時，BQ=BP，即AP=（6﹣AP）

解得，AP=2，

當∠QPB=90°時，BQ=2BP，即AP=2（6﹣AP）

解得，AP=4，

綜上所述，當AP=2或4時，△BPQ是直角三角形，

故答案為：2或4；

②∠CDQ的大小不變

∵P、Q用時出發，速度相同，所以AP=BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=AC，∠B=∠CAP=60°，

在△ABQ和△CAP中，

BA=AC，∠B=∠APC，BQ=AP，

∴△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°；

（2）如圖4，∠CDQ=120°，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，

在△ABQ和△CAP中，

BA=AC，∠ABQ=∠CAP，BQ=AP，

∴△ABQ≌△CAP，

∴∠Q=∠P，

∵∠P+∠BCP=60°，

∴∠Q+∠DCQ=60°，

∴∠CDQ=120°．