Question

以關于x的整系數方程x²+（t-4）x+t=0的最大整數根為直徑作⊙O，M為⊙O外的一點，過M作⊙O的切線MA和割線MBC，A為切點，若MA，MB，MC都是整數，且MB，MC都不是合數，求MA，MB，MC的長度．

Answer 1

設方程兩根為x₁、x₂則

x1+x2=4-t① x1x2=t②

又MA=x，MB=y，BC=z，則x﹑y﹑z都是正整數．
由切割線定知
MA2=MB•MC=MB（MB+BC），
即x²=y²+yz?（x+y）（x-y）=yz．③
消去①和②中的t，得
x₁x₂=4-x₁-x₂．
整理分解，得
（x₁+1）（x₂+1）=5．
因為⊙O的直徑是方程的最大整數根，不難求得最大整根t=4．進而，z=BC≤4．
又正整數z不是合數，故z=3，2，1．
當z=3時，（x+y）（x-y）=3y，有

x+y=3 x-y=y

x+y=y x-y=3

x+y=3y x-y=1

可得適合題意的解為x=2，y=1．
當z=1和z=2時，沒有適合題意的解，
所以，MA=x=2，MB=y=1，MC=y+z=4．