Question

以關(guān)于x的整系數(shù)方程x²+（t-4）x+t=0的最大整數(shù)根為直徑作⊙O，M為⊙O外的一點，過M作⊙O的切線MA和割線MBC，A為切點，若MA，MB，MC都是整數(shù)，且MB，MC都不是合數(shù)，求MA，MB，MC的長度．

Answer 1

分析：運用根與系數(shù)的關(guān)系以及切割定理得出根的取值范圍，進(jìn)而確定z的取值，從而解決．

解答：解：設(shè)方程兩根為x₁、x₂則

x1+x2=4-t① x1x2=t②

又MA=x，MB=y，BC=z，則x﹑y﹑z都是正整數(shù)．
由切割線定知
MA2=MB•MC=MB（MB+BC），
即x²=y²+yz?（x+y）（x-y）=yz．③
消去①和②中的t，得
x₁x₂=4-x₁-x₂．
整理分解，得
（x₁+1）（x₂+1）=5．
因為⊙O的直徑是方程的最大整數(shù)根，不難求得最大整根t=4．進(jìn)而，z=BC≤4．
又正整數(shù)z不是合數(shù)，故z=3，2，1．
當(dāng)z=3時，（x+y）（x-y）=3y，有

x+y=3 x-y=y

x+y=y x-y=3

x+y=3y x-y=1

可得適合題意的解為x=2，y=1．
當(dāng)z=1和z=2時，沒有適合題意的解，
所以，MA=x=2，MB=y=1，MC=y+z=4．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及切割線定理，綜合性較強(qiáng)．