Question

【題目】如圖1，等邊△ABC的邊長為3，分別以頂點B、A、C為圓心，BA長為半徑作、、，我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形，顯然萊洛三角形仍然是軸對稱圖形，設點l為對稱軸的交點．

（1）如圖2，將這個圖形的頂點A與線段MN作無滑動的滾動，當它滾動一周后點A與端點N重合，則線段MN的長為 ；

（2）如圖3，將這個圖形的頂點A與等邊△DEF的頂點D重合，且AB⊥DE，DE=2π，將它沿等邊△DEF的邊作無滑動的滾動當它第一次回到起始位置時，求這個圖形在運動過程中所掃過的區域的面積；

（3）如圖4，將這個圖形的頂點B與⊙O的圓心O重合，⊙O的半徑為3，將它沿⊙O的圓周作無滑動的滾動，當它第n次回到起始位置時，點I所經過的路徑長為 （請用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）3π；（2）27π；（3）2nπ．

【解析】試題分析：（1）先求出的弧長，繼而得出萊洛三角形的周長為3π，即可得出結論；

（2）先判斷出萊洛三角形等邊△DEF繞一周掃過的面積如圖所示，利用矩形的面積和扇形的面積之和即可；

（3）先判斷出萊洛三角形的一個頂點和O重合旋轉一周點I的路徑，再用圓的周長公式即可得出．

試題解析：解：（1）∵等邊△ABC的邊長為3，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，，∴===π，∴線段MN的長為=3π．故答案為：3π；

（2）如圖1．∵等邊△DEF的邊長為2π，等邊△ABC的邊長為3，∴S矩形AGHF=2π×3=6π，由題意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG=120°，∴S扇形BAG==3π，∴圖形在運動過程中所掃過的區域的面積為3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；

（3）如圖2，連接BI并延長交AC于D．∵I是△ABC的重心也是內心，∴∠DAI=30°，AD=AC=，∴OI=AI==，∴當它第1次回到起始位置時，點I所經過的路徑是以O為圓心，OI為半徑的圓周，∴當它第n次回到起始位置時，點I所經過的路徑長為n2π=2nπ．故答案為：2nπ．