Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，以AD為弦作⊙O，使圓心O在AB上.

(1)用直尺和圓規(guī)在圖中作出⊙O(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡) ；
(2)求證：BC為⊙O的切線.

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）AD是圓O的弦，由垂徑定理知圓心O在弦AD的垂直平分線上，所以作AD的垂直平分線，與AB的交點(diǎn)即為圓心的位置；（2）根據(jù)切線的判定定理，只要證明OD垂直于BC即可.
試題解析：(1)如圖所示，圓O即為所求.

(2)連結(jié)OD,∵AD是∠CAB的平分線，OA=OD
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠4＝∠2＋∠3＝∠1＋∠2＝∠CAB
∴AC∥OD
∴∠C＝∠ODB=90°
∴OD⊥BC，BC為⊙O的切線.