Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若CD⊥BD于D點，且BD交AC于E點，問當BD滿足什么條件時，CD=

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BE？并證明你的判斷．

Answer 1

當BD是∠ABC的平分線時，CD=

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BE，


理由是：延長BA和CD交于F，
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠FAC=90°=∠BDC，
∵∠AEB=∠DEC，
根據三角形的內角和定理得：∠ABE=∠FCA，
在△ABE和△ACF中

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF，
∴CF=BE，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠FDB=∠CDB，
在△FDB和△CDB中

∠FBD=∠CBD BD=BD ∠FDB=∠CDB

，
∴△FDB≌△CDB，
∴CD=DF=

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CF=

1

2

BE，
即當BD是∠ABC的平分線時，CD=

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2

BE．