Question

如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=．下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=1+；⑤S_{正方形ABCD}=4+．其中正確結論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①首先利用已知條件根據邊角邊可以證明△APD≌△AEB；
②由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE過點B作BM⊥AE延長線于M，由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，所以△EMB是等腰Rt△，故B到直線AE距離為BF=，故②是錯誤的；
③利用全等三角形的性質和對頂角相等即可判定③說法正確；
④由△APD≌△AEB，可知S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB，然后利用已知條件計算即可判定；
⑤連接BD，根據三角形的面積公式得到S_△BPD=PD×BE=，所以S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+，由此即可判定．
解答：解：由邊角邊定理易知△APD≌△AEB，故①正確；
由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，從而∠APD=∠AEB=135°，
所以∠BEP=90°，
過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，則BF的長是點B到直線AE的距離，
在△AEP中，由勾股定理得PE=，
在△BEP中，PB=，PE=，由勾股定理得：BE=，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=，
故②是錯誤的；
因為△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，而對頂角相等，所以③是正確的；
由△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
可知S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_△AEP+S_△BEP=+，因此④是錯誤的；
連接BD，則S_△BPD=PD×BE=，
所以S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+，
所以S_{正方形ABCD}=2S_△ABD=4+．
綜上可知，正確的有①③⑤．
點評：此題分別考查了正方形的性質、全等三角形的性質與判定、三角形的面積及勾股定理，綜合性比較強，解題時要求熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決問題．